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前言
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空间关系用于描述几何对象之间的拓扑结构，如何确定空间对象位置及其空间关系是GIS首要解决的问题。而九交模型的提出和实现为GIS空间关系的确定奠定了基础。
1. 九交模型起源
九交模型诞生于论文《Point-Set Topological Spatial Relations》，这篇由Max J. Egenhofer和Robert D. Franzosa于1991年发表在International Journal of Geographical Information Systems的奠基性论文，首次系统性地提出了九交模型(9-Intersection Model)，为GIS空间关系分析建立了严格的数学框架。
2. 九交模型基本概念
九交模型英文叫做9-Intersection Model，它主要通过分析几何对象内部（Interior）、外部（Exterior）和边界（Boundary）交集情况来确定几何对象之间的空间拓扑关系。
使用简单几何要素描述其内部、外部及边界情况如下：
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点要素：内部是点，边界是空集，外部是平面上除点以外的所有其他部分。 -
线要素：内部、边界和外部不容易划分，内部是以端点为界限的线的那一部分，边界是线性要素的端点，外部是平面中除内部和边界外的所有其他部分。 -
面要素：内部是以环为边界的里面的那一部分；边界是环本身；外部是边界外的一切。
图片来源于Yukon（禹贡）数据库
为了能够唯一描述每一种简单几何对象的空间关系，空间实体的“补”作为空间实体的外部被引入空间关系描述框架 ,它同空间实体的边界、内部构成了简单空间实体的基本组件。假设空间实体 A 的边界为 A、内部为 A°、“补”为 A-,空间实体 B 的边界为 B、内部 B°、“补”为 B-,它们两两之间的交集就构成了空间关系描述的 9元组框架。
对于任意两个几何对象A和B，它们的拓扑关系可以用一个3×3的矩阵表示：
内部每一元素的取值都有空(∅)与非空(¬∅)两种可能。根据排列组合原理，9个元素项共有29= 512 种可能的取值，也就是说两个简单空间实体之间存在 512 种关系可能，当然，绝大部分空间关系可能没有意义。
对上图中九交矩阵元素含义表示如下：
-
A°∩B°：两对象内部的交集 -
A°∩∂B：A内部与B边界的交集 -
A°∩B⁻：A内部与B外部的交集 -
∂A∩B°：A边界与B内部的交集 -
∂A∩∂B：两对象边界的交集 -
∂A∩B⁻：A边界与B外部的交集 -
A⁻∩B°：A外部与B内部的交集 -
A⁻∩∂B：A外部与B边界的交集 -
A⁻∩B⁻：两对象外部的交集
而在实际应用中常见的空间关系模型有以下几种，这些关系为：
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相离(Disjoint)：是指两对象不相交，即在对象的内部、外部和边界均没有交集。 -
相接(Meet/Touch)：是指两对象边界相交。 -
重叠(Overlap)：是指两个对象存在部分交集。 -
相等(Equal)：是指两个对象完全重合。 -
包含(Contains)：是指其中一个对象是另一个对象的子集。 -
被包含（在内部）(Within)：是指B包含A，即几何对象A在几何对象B的内部。 -
覆盖(Covers)：是指两个对象A和B，其中对象B是对象A的子集。 -
被覆盖(CoveredBy)：是指两个对象A和B，其中对象A是对象B的子集。
3. 九交模型现实意义
九交模型在GIS和空间数据库中具有重要的现实意义。它不仅为空间关系的精确描述提供了理论基础，还支持空间查询、分析、推理、数据质量检测、多源数据融合、自然语言表达、不确定性处理和标准化等应用。随着GIS技术的不断发展，九交模型的应用范围将进一步扩大，为更多领域的空间信息处理提供支持。
参考资料
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九交模型论文：
https://www.tandfonline.com/doi/epdf/10.1080/02693799108927841?needAccess=true -
Yukon（禹贡）数据库：
https://yukon.supermap.io/2.0/demos/demo_de9im.html
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